PDF-версии: 
Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен 
а) Докажите, что высота пирамиды, проведенная к боковой грани, больше чем высота пирамиды, проведенная к основанию.
б) Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
Решение. а) Пусть SABC — данная пирамида с вершиной S, отрезок SH — ее высота, точка M — середина BC, CK — высота треугольника
Угол SMH — угол между боковой гранью пирамиды и основанием.
Пусть SM = 6a. тогда
Обозначим высоту пирамиды, проведенную к BSC за h. Тогда h — высота треугольника ASM. Отсюда 
откуда
Что и требовалось доказать.
б) Найдем площадь треугольника BSC двумя способами:
Значит, 
Ребро AC перпендикулярно плоскости SBH, поэтому SB и AC перпендикулярны, следовательно, плоскость AKC перпендикулярна ребру 
Искомый угол между боковыми гранями равен углу при вершине равнобедренного треугольника AKC:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |