PDF-версии: 
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Решение. а) Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AB, тогда DH = DP. В равнобедренном треугольнике EAD угол AED равен 30°. В прямоугольном треугольнике EPD находим
откуда получаем, что FH = 2DH.
б) Пусть AM — высота треугольника ABC — пересекает ED в точке N. Тогда
Пусть DH = EF = x, тогда FH = ED = 2x. Треугольники ABC и AED подобны, следовательно,
Значит, площадь прямоугольника DEFH равна
Ответ: 
Приведем решение пункта а) Сергея Федорова.
Треугольник ABC равнобедренный, следовательно,
Углы BDE и DBC равны как накрест лежащие, угол DBC равен углу DBE, поскольку BD является биссектрисой, следовательно, углы BDE и DBE равны, тогда треугольник DBE равнобедренный, DE = BE. В треугольнике BFE катет EF лежит против угла в 30°, следовательно, BE = 2EF, тогда DE = 2EF.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |