РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 510794 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 1

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задача с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения a, при которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец аргумента =|x плюс a минус 5| плюс |x минус a плюс 5|$

имеет единственное решение.

Решение. Заметим, что если число $x_0$ является решением уравнения, то и число $минус x_0$ также является решением этого уравнения. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение $x=0.$

При $x = 0$ уравнение принимает вид

$корень из: начало аргумента: левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец аргумента =2|a минус 5| равносильно левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате =2|a минус 5| равносильно |a минус 5| умножить на левая круглая скобка |a минус 5| минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a=3,a=5,a=7. конец совокупности$ $корень из: начало аргумента: левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец аргумента =2|a минус 5| равносильно левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате =2|a минус 5| равносильно$
$равносильно |a минус 5| умножить на левая круглая скобка |a минус 5| минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a=3,a=5,a=7. конец совокупности$

При $a = 3$ и $a = 7$ исходное уравнение принимает вид $корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс 16 конец аргумента =|x минус 2| плюс |x плюс 2|.$ При $x меньше −2$ правая часть уравнения $минус 2x меньше x в квадрате меньше корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс 16 конец аргумента .$ При $минус 2 меньше или равно x меньше 2$ левая часть уравнения не меньше $4,$ причём равенство достигается только при $x=0.$ При $x больше 2$ правая часть уравнения $2x меньше x в квадрате меньше корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс 16 конец аргумента .$ Значит, исходное уравнение имеет единственное решение $x=0.$

При $a=5$ исходное уравнение принимает вид $корень из: начало аргумента: x в степени 4 конец аргумента =2|x|.$ Числа $−2, 0$ и $2$ являются корнями этого уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при $a=3$ и $a=7.$

Ответ: $a=3, a=7.$

----------

Дублирует задание 514129.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу.	3
С помощью верного рассуждения получены искомые значения $a,$ возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной $t.$	2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и отрезка (2; 3] или (при аналитическом решении) найдено множество значений функции $y = t в квадрате плюс 2t,$ но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $a=3, a=7.$

510794

$a=3, a=7.$

Источник: ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 1

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510794	$a=3, a=7.$