PDF-версии: 
Окружность радиуса 
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN.
Решение. Пусть O1 — центр окружности радиуса
O2 — центр второй окружности, A — вершина прямого угла, тогда
Возможны два случая.
Первый случай: точка O1 лежит между точками A и O2 (рис. 1), тогда O2A = O1A + O1O2 = 28, откуда радиус второй окружности 
В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 12, 
Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.
В треугольнике O1MO2 полупериметр 
откуда 
Второй случай: точка O2 лежит между точками A и O1 (рис. 2), тогда O2A = O1A − O1O2 откуда радиус второй окружности 
В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 12, 
Аналогично первому случаю, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.
В треугольнике O1MO2 полупериметр 
откуда 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |