PDF-версии: 
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 
а высота равна 
вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а) Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды равен
б) Найдите площадь этой сферы.
Решение.
а) Пусть 
— высота правильной шестиугольной пирамиды 
с вершиной 
тогда треугольник AMH прямоугольный, 
откуда
Треугольник ABH равносторонний, следовательно, 
В треугольнике AMB высота
Двугранный угол при основании пирамиды равен углу MNH. Далее заметим, что в прямоугольном треугольнике MNH катет, лежащий напротив угла MNH, вдвое меньше гипотенузы, а значит искомый угол равен 
б) В правильном треугольнике AHB высота 
Центр O сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке 
Треугольники MOK и 
подобны, поэтому
где r — радиус сферы.
Площадь сферы 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |