РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Окружности радиусов $11$ и $21$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно касаются внутренним образом в точке $K,MO_1$ и $N O_2$   — параллельные радиусы этих окружностей, причём $\angle MO_1O_2=120 градусов.$ Найдите $MN.$

Решение. Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка $O‍_1O‍_2‍$ за точку $O‍_1.‍$ Возможны два случая.

Первый случай. Точки $M‍$ и $N‍$ лежат по одну сторону от прямой $O‍_1O‍_2.‍$ Через точку $M‍$ проведём прямую, параллельную $O‍_1O‍_2.‍$ Пусть A  — ‍ точка её пересечения с радиусом $O‍_2N.‍$ В треугольнике $AMN‍$ известно, что

$AM=O_1O_2=21 минус 11=10,AN=O_2N минус O_2A=O_2N минус O_1M=21 минус 11=10.$ $AM=O_1O_2=21 минус 11=10,AN=$
$=O_2N минус O_2A=O_2N минус O_1M=21 минус 11=10.$

$\angle MAN = 180 градусов минус \angle MAO_2=180 градусов минус \angle MO_1O_2=180 градусов минус 120 градусов.$

Треугольник AMN  — равносторонний, следовательно, $MN=AM=10.$

Второй случай. Точки M и N лежат по разные стороны от прямой $O_1O_2.$ Пусть A  — точка её пересечения с продолжением радиуса

$O_2N.$ В треугольнике MAN известно, что

$AM=O_1O_2=21 минус 11 минус 10,AN=O_2N плюс O_2A=O_2N плюс O_1M=21 плюс 11=32,$ $AM=O_1O_2=21 минус 11 минус 10,AN=$
$=O_2N плюс O_2A=O_2N плюс O_1M=21 плюс 11=32,$

$\angle MAN=\angle MO_1O_2=120 градусов.$

По теореме косинусов:

$MN в квадрате =AN в квадрате плюс AM в квадрате минус 2AN умножить на AM косинус 120 градусов=$
$=1024 плюс 100 минус 2 умножить на 32 умножить на 10 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =4 левая круглая скобка 256 плюс 25 плюс 80 правая круглая скобка =4 умножить на 361.$ $MN в квадрате =AN в квадрате плюс AM в квадрате минус 2AN умножить на AM косинус 120 градусов=$
$=1024 плюс 100 минус 2 умножить на 32 умножить на 10 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =$
$=4 левая круглая скобка 256 плюс 25 плюс 80 правая круглая скобка =4 умножить на 361.$

Следовательно, $MN= корень из: начало аргумента: 4 умножить на 361 конец аргумента =2 умножить на 19=38.$

Ответ: 10 или 38.

Приведём другое решение.

Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка $O‍_1O‍_2‍$ за точку $O‍_1.‍$ Возможны два случая.

Первый случай. Точки $M‍$ и $N‍$ лежат по одну сторону от прямой $O‍_1O‍_2.‍$ Опустим перпендикуляры $O_1H$ и MK на прямую $O_2N,$ $O_1M||O_2N,$ следовательно, четырёхугольник $O_1O_2NM$   — трапеция. Откуда $\angle O_1O_2N=180 градусов минус O_2O_1M=180 градусов минус 120 градусов=60 градусов$ Из треугольника $O_1O_2H:$

$O_2H=O_1O_2 косинус \angle O_1O_2H= левая круглая скобка 21 минус 11 правая круглая скобка косинус 60 градусов=10 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =5,$

$O_1H=O_1O_2 синус \angle O_1O_2H= левая круглая скобка 21 минус 11 правая круглая скобка синус 60 градусов=10 умножить на дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби =5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

Поскольку $O_1M||O_2N,$ $O_1H||MT,$ и $O_1H\perpO_2N,$ $O_1HKM$   — прямоугольник. Откуда $O_1H=MK=5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и $O_1M=HK=11.$ В треугольнике MNK $NK=O_2N минус O_2H минус HK=21 минус 5 минус 11=5.$ По теореме Пифагора:

$MN= корень из: начало аргумента: NK в квадрате плюс MN в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 75 плюс 25 конец аргумента =10.$

Второй случай. Точки $M‍$ и $N‍$ лежат по разные стороны от прямой $O‍_1O‍_2.‍$ Опустим перпендикуляры $O_1H$ и MK на продолжение прямой $O_2N.$ Аналогично первому случаю, получаем, что $MK=5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $KG=5,$ откуда $O_2G=21 минус 5=16, MK=5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Из треугольника NMK по теореме Пифагора:

$MN= корень из: начало аргумента: MK в квадрате плюс KN в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 75 плюс левая круглая скобка 5 плюс 11 плюс 21 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =38.$

Примечание. Приведём авторское решение, оно неверно, поскольку $LMOO_1O_2$ не является параллелограммом.

Точки $O_1, O_2$ и K лежат на одной прямой. Возможны два случая. Первый случай: точки M и N лежат по одну сторону от прямой $O_1O_2$ (рис. 1). Отрезок ML параллелен отрезку $O_1O_2$ (точка L принадлежит радиусу $N O_2$ ), следовательно, $O_1 O_2LM$   — параллелограмм: $ML=O_1O_2=10, O_1M=O_2L=11, \angle O_2LM=\angle MO_1O_2=120 градусов.$

В треугольнике LMN имеем $LM=10,LN=10,\angle MLN=60 градусов,$ значит, треугольник LMN  — правильный, откуда $MN=10.$

Второй случай: точки $М$ и N лежат по разные стороны от прямой $O_1O_2$ (рис. 2). Отрезок ML параллелен отрезку $O_1O_2$ (точка L лежит на продолжении радиуса $N O_2$ за точку $O_2$ ), следовательно, $O_1 O_2 LM$   — параллелограмм: $ML=O_1O_2=10, O_1M=O_2L= 11,$ $\angle O_2LM=MO_1O_2= 120 градусов.$

В треугольнике LMN имеем $LM=10,LN=32,\angle MLN=120 градусов,$ откуда

$MN = корень из: начало аргумента: LM в квадрате плюс LN в квадрате минус 2LM умножить на LN умножить на косинус \angle MLN конец аргумента = 38.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ключ