PDF-версии: 
Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN.
Решение.
Пусть O1 — центр окружности радиуса 6, O2 — центр второй окружности, O — вершина угла, в который вписаны окружности, A и B — точки касания соответственно первой и второй окружностей с одной из сторон угла, тогда OO1 = 2O1A = 12.
Возможны два случая. Первый случай: точка O1 лежит между точками O и O2 (рис. 1), тогда OO2 = OO1 + O1O2 = 16, откуда радиус второй окружности
В треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 4, O1M = 6, O2M = 8. Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.
В треугольнике O1MO2 полупериметр 
откуда
Второй случай: точка O2 лежит между точками O и O1 (рис. 2), тогда OO2 = OO1 − O1O2 = 8, откуда радиус второй окружности
Аналогично первому случаю, в треугольнике O1MO2 имеем O1O2 = 4, O1M = 6, O2M = 4, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.
В треугольнике O1MO2 полупериметр 
откуда
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |