PDF-версии: 
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84.
а) Докажите, что сечение шара второй плоскостью является кругом.
б) Найдите радиус шара.
Решение. а) Рассмотрим произвольную точку P, принадлежащую второму сечению (не проходящему через центр). Рассмотрим прямую, перпендикулярную данным плоскостям и проходящую через центр шара — точку O. Пусть эта прямая пересекает второго сечение в точке B. Рассмотрим, наконец, еще точку C, принадлежащую второму сечению и поверхности шара. Заметим, что
Таким образом, 
поэтому точка P принадлежит кругу с центром B и радиусом BC. В обратную сторону: каждая точка круга с центром B, радиусом BC, и лежащего во второй плоскости, принадлежит шару. Таким образом, сечение есть круг.
б) Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры сечений. Обозначения даны на рисунке. OA — радиус шара, тогда S1 = π · OA2 — площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр. BC — радиус меньшего круга, полученного в сечении, тогда S2 = π · BC2 — площадь сечения шара второй плоскостью.
Из отношения площадей сечений получаем: 
OB — расстояние между плоскостями, равное 2.
В прямоугольном треугольнике OBC: OC2 = BC2 + OB2, откуда получаем:
Ответ: 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |