Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 510494

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 15, BC = 8. Окружность радиуса 2,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем  дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 длины катета AC.

б) Найдите радиус второй окружности.

Решение.

а) Пусть Q — центр второй окружности, M и N — её точки касания со сторонами AB и AC соответственно, а точка H — проекция точки Q на BC. Имеем: AB= корень из { AC в степени 2 плюс BC в степени 2 }=17, следовательно,  косинус \angle A= дробь, числитель — 15, знаменатель — 17 , синус \angle A= дробь, числитель — 8, знаменатель — 17 . Тогда  тангенс \angle NAQ= тангенс дробь, числитель — \angle A, знаменатель — 2 = дробь, числитель — синус \angle A, знаменатель — 1 плюс косинус \angle A = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . Поэтому AC больше AN=4NQ, что и требовалось доказать.

б) Пусть x — радиус второй окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник OHQ:

QH=CN=15 минус 4x больше 0;OQ=x плюс 2,5;OH=|OC минус CH|=|2,5 минус x|.

По теореме Пифагора OH в степени 2 плюс QH в степени 2 =OQ в степени 2 , откуда:

(15 минус 4x) в степени 2 плюс (2,5 минус x) в степени 2 =(2,5 плюс x) в степени 2 равносильно 16x в степени 2 минус 130x плюс 225=0 равносильно совокупность выражений  новая строка x=2,5, новая строка x=5,625. конец совокупности . .

Условию 15 минус 4x больше 0 удовлетворяет только x = 2,5. Кстати, отсюда следует, что точки O и H совпадают.

 

Ответ: 2,5.


Аналоги к заданию № 509161: 509024 510494 511581 511593 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники