РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 510097 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, Запад.

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности

Задача с параметром. Использование монотонности, оценок

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка y в квадрате минус xy плюс 3x минус y минус 6 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x плюс 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 6 минус x конец аргумента конец дроби =0,x плюс y минус a=0. конец системы .$

имеет ровно два различных решения.

Решение. Заметим, что

$y в квадрате минус xy плюс 3x минус y минус 6 =0 равносильно y в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка y плюс левая круглая скобка 3x минус 6 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений y=x минус 2,y=3. конец совокупности .$

Поэтому исходная система равносильна смешанной системе

$система выражений минус 2 меньше или равно x меньше 6, совокупность выражений x= минус 2, y=3, y=x минус 2, конец системы . y=a минус x. конец совокупности .$

Полученная смешанная система имеет ровно два решения в том и только в том случае, когда семейство прямых $y=a минус x$ имеет с графиком системы

$система выражений минус 2 меньше или равно x меньше 6, совокупность выражений x= минус 2, y=3, y=x минус 2 конец системы . конец совокупности .$

ровно две общие точки, то есть при $a принадлежит левая круглая скобка минус 6; 1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 8 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 9; 10 правая круглая скобка .$

----------

Дублирует задание 509206.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки.	3
Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, Запад.

Ключ