PDF-версии: 
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Решение. а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.
Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.
б) Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда
а из прямоугольного треугольника APO находим, что
Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,
Ответ: б) 
Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).
а) Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда 
и 
поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда 
равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.
б) По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM — средняя линия треугольника ABC, и 
по теореме Фалеса. Осталось найти AР.
Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рис. справа). Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: 
то есть 
Следовательно, 
По теореме Пифагора 
Окончательно получаем:
Примечание Дмитрия Гущина.
Читатель, изучающий углубленный курс геометрии или занимавшийся в кружке, сразу заметит, что при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 меньшая окружность переходит в большую, а хорда KM переходит в хорду BC. Из этого сразу следует и параллельность прямыx KM и BC, и соотношение 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |