Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 509326

Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 19 конец дроби .

б) Может ли дробь  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби быть в 11 раз меньше, чем сумма  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби , если a больше 3b и c больше 6d?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть a=10,b=20, c=11 и d=37. Тогда  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 21, знаменатель: 57 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 19 конец дроби .

б) Предположим, что 11 умножить на дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби . Тогда:

11 левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка bd= левая круглая скобка b плюс d правая круглая скобка левая круглая скобка ad плюс bc правая круглая скобка равносильно 11abd плюс 11bcd=abd плюс bcd плюс ad в квадрате плюс b в квадрате c равносильно

 

 равносильно 10abd минус ad в квадрате =b в квадрате c минус 10bcd равносильно ad левая круглая скобка 10b минус d правая круглая скобка =bc левая круглая скобка b минус 10d правая круглая скобка .

С другой стороны имеем: 10b минус d больше или равно 10 умножить на 10 минус 99 больше 0 больше 99 минус 10 умножить на 10 больше или равно b минус 10d. Следовательно, числа ad левая круглая скобка 10b минус d правая круглая скобка и bc левая круглая скобка b минус 10d правая круглая скобка разные знаки и, значит, левая и правая часть в последнем равенстве не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что 99 больше или равно a больше или равно 3b плюс 1 и c больше или равно 6d плюс 1. Значит, b меньше или равно дробь: числитель: 98, знаменатель: 3 конец дроби меньше 33. Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что b меньше или равно 32. Используя неравенства a больше или равно 3b плюс 1,c больше или равно 6d плюс 1,b меньше или равно 32 и d больше или равно 10, получаем:

 дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3b плюс 6d плюс 2, знаменатель: b плюс d конец дроби =3 плюс дробь: числитель: 3d плюс 2, знаменатель: b плюс d конец дроби \geqslant3 плюс дробь: числитель: 3d плюс 2, знаменатель: d плюс 32 конец дроби =6 минус дробь: числитель: 94, знаменатель: d плюс 32 конец дроби \geqslant6 минус дробь: числитель: 94, знаменатель: 42 конец дроби = дробь: числитель: 79, знаменатель: 21 конец дроби .

Пусть a=97,b=32,c=61 и d=10. Тогда  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 158, знаменатель: 42 конец дроби = дробь: числитель: 79, знаменатель: 21 конец дроби . Следовательно, наименьшее возможное значение дроби  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби равно  дробь: числитель: 79, знаменатель: 21 конец дроби .

 

Ответ: а) Да, например, если a=10,b=20,c=11 и d=37; б) нет; в)  дробь: числитель: 79, знаменатель: 21 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 509326: 512341 512383 509347 517205 517243 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства