Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.
Решение. Обозначения: SABCD — заданная пирамида, SH — высота, SL — апофема, O — центр вписанного и описанного шаров, OD, OS — радиусы описанного шара, OM, OH радиусы вписанного шара.
— искомый.
Пусть AD = CD = a. Тогда 
ML = HL как отрезки касательных, проведенных из точки L к вписанной сфере.
Отсюда: 
В прямоугольном 
следовательно, 
так как они прямоугольные, у них OM — общий катет, OS = OD как радиусы описанного шара. Следовательно, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |