РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 508666 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 108

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

Дано уравнение $синус 7x минус синус x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 4x.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. А)  Последовательно получаем:

$синус 7x минус синус x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 4x равносильно$
$равносильно 2 косинус 4x умножить на синус 3x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 4x=0 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 4x умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 3x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка косинус 4x=0 , новая строка синус 3x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка 3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка 3x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений новая строка косинус 4x=0 , новая строка синус 3x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка 3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка 3x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Б)  Выборка корней. Решим неравенства относительно целых $n.$

Из первой серии решений:

$минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n меньше или равно минус 2 Пи равносильно минус 24 меньше или равно 1 плюс 2n меньше или равно минус 16 равносильно$
$равносильно минус 25 меньше или равно 2n меньше или равно минус 17 равносильно минус 12,5 меньше или равно n меньше или равно минус 8,5 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 12 , новая строка n= минус 11 , новая строка n= минус 10 , новая строка n= минус 9 . конец совокупности .$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 24 меньше или равно 1 плюс 2n меньше или равно минус 16 равносильно минус 25 меньше или равно 2n меньше или равно минус 17 равносильно$
$равносильно минус 12,5 меньше или равно n меньше или равно минус 8,5 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 12 , новая строка n= минус 11 , новая строка n= минус 10 , новая строка n= минус 9 . конец совокупности .$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 24 меньше или равно 1 плюс 2n меньше или равно минус 16 равносильно$
$равносильно минус 25 меньше или равно 2n меньше или равно минус 17 равносильно$
$равносильно минус 12,5 меньше или равно n меньше или равно минус 8,5 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 12 , новая строка n= минус 11 , новая строка n= минус 10 , новая строка n= минус 9 . конец совокупности .$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 24 меньше или равно 1 плюс 2n меньше или равно минус 16 равносильно$
$равносильно минус 25 меньше или равно 2n меньше или равно минус 17 равносильно$
$равносильно минус 12,5 меньше или равно n меньше или равно минус 8,5 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 12 , новая строка n= минус 11 , новая строка n= минус 10 , новая строка n= минус 9 . конец совокупности .$

При $n= минус 12: x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 3 Пи = минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ при $n= минус 11: x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$

при $n= минус 10: x_3= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ при $n= минус 9: x_4= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Из второй серии решений:

$минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус 2 Пи равносильно минус 36 меньше или равно 1 плюс 8n меньше или равно минус 24 равносильно$
$равносильно минус 37 меньше или равно 8n меньше или равно минус 23 равносильно минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 меньше или равно n меньше или равно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 равносильно n= минус 4;$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 36 меньше или равно 1 плюс 8n меньше или равно минус 24 равносильно минус 37 меньше или равно 8n меньше или равно минус 23 равносильно$
$равносильно минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 меньше или равно n меньше или равно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 равносильно n= минус 4;$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 36 меньше или равно 1 плюс 8n меньше или равно минус 24 равносильно$
$равносильно минус 37 меньше или равно 8n меньше или равно минус 23 равносильно$
$равносильно минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 меньше или равно n меньше или равно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 равносильно n= минус 4;$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 36 меньше или равно 1 плюс 8n меньше или равно минус 24 равносильно$
$равносильно минус 37 меньше или равно 8n меньше или равно минус 23 равносильно$
$равносильно минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 меньше или равно n меньше или равно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 равносильно$
$равносильно n= минус 4;$

$x_5= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Из третьей серии решений:

$минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус 2 Пи равносильно минус 36 меньше или равно 3 плюс 8n меньше или равно минус 24 равносильно равносильно$
$равносильно минус 39 меньше или равно 8n меньше или равно минус 27 равносильно минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 меньше или равно n меньше или равно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 8 равносильно n= минус 4;$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус 2 Пи равносильно минус 36 меньше или равно 3 плюс 8n меньше или равно минус 24 равносильно$
$равносильно равносильно минус 39 меньше или равно 8n меньше или равно минус 27 равносильно$
$равносильно минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 меньше или равно n меньше или равно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 8 равносильно n= минус 4;$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 36 меньше или равно 3 плюс 8n меньше или равно минус 24 равносильно$
$равносильно равносильно минус 39 меньше или равно 8n меньше или равно минус 27 равносильно$
$равносильно минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 меньше или равно n меньше или равно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 8 равносильно n= минус 4;$ $минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 36 меньше или равно 3 плюс 8n меньше или равно минус 24 равносильно$
$равносильно равносильно минус 39 меньше или равно 8n меньше или равно минус 27 равносильно$
$равносильно минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 меньше или равно n меньше или равно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 8 равносильно$
$равносильно n= минус 4;$

$x_6= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 4 конец дроби ,n принадлежит Z; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z.$ б) $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; минус дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508666

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 4 конец дроби ,n принадлежит Z; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z.$ б) $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; минус дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 108

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508666	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 4 конец дроби ,n принадлежит Z; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z.$ б) $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; минус дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$