РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 508658 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 102

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности

Сложная планиметрия. Окружности

CA и СВ  — касательные к окружности в точках А и В соответственно, АD  — её диаметр. Прямые ВD и АС пересекаются в точке E.

А)  Докажите, что точка С – середина отрезка АЕ.

Б)  Найдите сумму радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABE, ABD и AED, если известно, что ВA  =  12.

Решение. а)  Обозначим $\angle CAB=\angle CBA= альфа .$ Тогда $\angle CBE=\angle ABE минус альфа =90 градусов минус альфа$ (поскольку $BD\perp AB,$ так как $\angle ABD$ опирается на диаметр окружности). Далее

$\angle BCE=\angle CAB плюс \angle CBA=2 альфа и \angle CEB=$
$=180 градусов минус 2 альфа минус левая круглая скобка 90 градусов минус альфа правая круглая скобка =90 градусов минус альфа .$ $\angle BCE=\angle CAB плюс \angle CBA=$
$=2 альфа и \angle CEB=$
$=180 градусов минус 2 альфа минус левая круглая скобка 90 градусов минус альфа правая круглая скобка =90 градусов минус альфа .$ $\angle BCE=\angle CAB плюс \angle CBA=$
$=2 альфа и \angle CEB=$
$=180 градусов минус 2 альфа минус левая круглая скобка 90 градусов минус альфа правая круглая скобка =$
$=90 градусов минус альфа .$

Итак, треугольники ACB и ECB равнобедренные, поэтому $AC=CB=CE,$ значит, C  — середина AE.

б)  Известно, что если a, b  — катеты прямоугольного треугольника, c  — его гипотенуза, то радиус вписанной в него окружности равен $дробь: числитель: a плюс b минус c, знаменатель: 2 конец дроби .$

Поскольку все упомянутые в условии треугольники прямоугольные, то искомая сумма радиусов равна

$дробь: числитель: AB плюс BE минус AE, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: AB плюс BD минус AD, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: AD плюс AE минус DE, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2AB плюс BE плюс BD минус DE, знаменатель: 2 конец дроби =AB=12.$ $дробь: числитель: AB плюс BE минус AE, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: AB плюс BD минус AD, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: AD плюс AE минус DE, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2AB плюс BE плюс BD минус DE, знаменатель: 2 конец дроби =$
$=AB=12.$

Ответ: 12.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: 12.

508658

12.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 102

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508658	12.