PDF-версии: 
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6, а высота 4. Точки K, P, M — середины ребер AB, BC, SD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, M, P.
б) Найдите площадь этого сечения.
Решение. а) Продлим KP до пересечения с DC в точке Q. Очевидно 
Соединим теперь M и Q и отметим точку пересечения MQ с CS ( L). По теореме Менелая для треугольника DSC и прямой MLQ имеем 
откуда 
Аналогично построим на AS точку N, делящую AS в том же отношении. Поэтому KPLMN — искомое сечение.
б) Соединим M с серединой KP (точкой T). Проекция этой прямой на плоскость основания перпендикулярна KP и NL (ибо совпадает с BD, а они параллельны AC). При этом она пересекает NL в его середине, лежащей на высоте пирамиды и делящей высоту в отношении 
То есть расстояние от M до плоскости основания вдвое больше расстояния от этой точки до той же плоскости. Следовательно, эта точка является серединой отрезка и высоты в треугольнике MNL и трапеции KPLN равны.
Тогда
Мы использовали то, что проекция M и точка P делят диагональ BD в отношении 
что очевидно.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |