РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 508647 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 85

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство : $\log _ косинус x в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби минус 2x правая круглая скобка меньше \log _ косинус x в квадрате левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка .$

Решение. Перейдем к системе неравенств  — следствию, далее  — к равносильным системам.

$логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби минус 2x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка \Rightarrow система выражений новая строка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби минус 2x больше 2x минус 1 , новая строка 2x минус 1 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби минус 2x минус 2x плюс 1 больше 0 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби минус 4x плюс 1 больше 0 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$ $логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби минус 2x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений новая строка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби минус 2x больше 2x минус 1 , новая строка 2x минус 1 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби минус 2x минус 2x плюс 1 больше 0 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби минус 4x плюс 1 больше 0 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 3 минус 4x в квадрате плюс x, знаменатель: x конец дроби больше 0 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка 4x в квадрате минус x минус 3 меньше 0 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше 1 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1.$ $равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 3 минус 4x в квадрате плюс x, знаменатель: x конец дроби больше 0 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка 4x в квадрате минус x минус 3 меньше 0 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше 1 , новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1.$

Осталось проверить, что при $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1$ $косинус x в квадрате больше 0, косинус x в квадрате не равно 1.$

Действительно, при $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка ;x в квадрате принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$ При этом $1 меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби больше 0,$ следовательно, $косинус x в квадрате больше 0, косинус x в квадрате не равно 1.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

508647

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 85

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508647	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$