ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 508553 Добавить в вариант

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 2.$

Спрятать решение

Решение.

Воспользуемся свойствами логарифма:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2.$

Сделаем замену $y= логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка :$

$y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби меньше или равно 2 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: y конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений y=1 y меньше 0. конец совокупности .$

Если $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка =1,$ то

$система выражений новая строка 2x минус 1=4x минус 5, новая строка 2x минус 1 больше 0, новая строка 2x минус 1 не равно 1. конец системы . равносильно x=2.$

Если $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка меньше 0,$ то

$система выражений новая строка дробь: числитель: 4x минус 5 минус 1, знаменатель: 2x минус 1 минус 1 конец дроби меньше 0, новая строка 2x минус 1 больше 0,\qquad новая строка 4x минус 5 больше 0, новая строка 2x минус 1 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше 0, новая строка x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, решение данного неравенства $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ или $x=2.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508456: 508553 508563 508565 ...508553 508563 508565 511575 Все

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Саша Ярошенко 28.03.2018 11:24

Когда получается неравенство y+1/y<=2 разве мы не говорим что по свойству взаимобратных чисел y+1/y=2 и в итоге после решения ответ {2}?

Александр Иванов

Это верно для положительных чисел, но есть еще и отрицательные