При каком наибольшем значении параметра а система уравнений имеет единственное решение
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
Это уравнение задает множество окружностей с центром на прямой 
и радиусом 
Второе уравнение задает пару лучей, исходящих из точки 
симметричных относительно оси Оу.
Один из этих лучей, очевидно, является частью прямой, задаваемой уравнением 
другой — уравнением 
Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы эти прямые имели одну единственную общую точку с окружностью.
Центр окружности имеет абсциссу 
значит, при 
если 
то 
Поскольку мы ищем наибольшее значение параметра а, ограничимся лишь рассмотрением случая
Тогда: 
Подставим это значение х в первое уравнение системы и преобразуем его:
Потребуем, чтобы последнее уравнение имело единственный корень. Для этого необходимо выполнение условия: четверть его дискриминанта обязана быть равной нулю.
Решим уравнение: 
Искомым значением параметра а является 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |