РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 508174 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 99

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.9 Метод интервалов;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _2x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка умножить на \log _x минус 1 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка меньше 0.$

Решение. а)  Решим неравенство методом рационализации.

Ограничения на x очевидны: $4 меньше x меньше 6.$ Для таких х:

$\log _2x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка умножить на \log _x минус 1 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка меньше 0 равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 6 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 6 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0.$

Но на $левая круглая скобка 4;6 правая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0,x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0,$ следовательно, на $левая круглая скобка 4;6 правая круглая скобка :$

$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате больше 0 равносильно x не равно 5.$

Отсюда вывод: искомыми значениями переменной х являются элементы множества $левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3