PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA = 6, а сторона основания 
Через вершину А перпендикулярно боковому ребру PC проведена плоскость.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.
Решение. а) Проведем диагонали основания, их пересечение обозначим H.
Проведем высоту PH пирамиды.
Построим последовательно:
1) Точку 
2) Отрезок 
— точка пересечения AN и 
3) 
4) Отрезки 
Фигура AMNL — искомое сечение. Докажем это.
Во-первых, плоскость (AMN) — обозначим ее 
— проходит через две пересекающиеся прямые AN и ML, лежащие на плоскости 
следовательно, такая плоскость единственна.
Во-вторых: ясно, что 
Отсюда: 
— равносторонний. В нем AN — медиана (по построению), следовательно, и его высота, то есть 
CH — проекция наклонной PC на основание пирамиды, 
(по свойству квадрата), в таком случае по теореме о трех перпендикулярах 
Поскольку 
(по построению), 
Таким образом, оказалось, что прямая PC перпендикулярна к двум пересекающимся прямым AN и ML, лежащим на плоскости 
Значит, 
— по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
б) Точка О — точка пересечения медиан AN и PH треугольника APC, откуда:
Из параллельности ML и BD следует: 
Значит, 
Заметим, теперь, что треугольники ALM и MLN — равнобедренные, следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |