Тип Д19 C7 № 508165 
Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Про натуральное число N известно, что сумма его четырех наименьших натуральных делителей равна 12.
А) Может ли сумма четырех наибольших натуральных делителей числа N равняться 195?
Б) Может ли сумма четырех наибольших натуральных делителей числа N равняться 120?
В) Найдите все возможные числа N, у которых сумма четырех наибольших натуральных делителей не превосходит 100.
Решение. а) Возможны лишь два набора четырех наименьших делителей, удовлетворяющих условию задачи: 1,2,4,5 и 1,2,3,6. В первом случае сумма четырех наибольших делителей равна 
во втором случае сумма четырех наибольших делителей равна 
Пусть 
тогда 
Четыре его наименьших делителя равны 1,2,4,5.
б) Пусть 
тогда N не является целым. Пусть 
тогда 
Но наименьшие делители 60 равны 1,2,3,4, что не удовлетворяет условию.
в) Пусть наименьшие делители числа N равны 1,2,4,5. Тогда 
то есть 
Кроме этого N должно делиться на 20, и не делиться на 3. Этому условию удовлетворяют числа 20 и 40.
Пусть наименьшие делители числа N равны 1,2,3,6. Тогда 
то есть 
Кроме этого N должно делиться на 6, и не делиться ни на 4, ни на 5. Этому условию удовлетворяют числа 6, 18 и 42.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6, 18, 20, 40, 42.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 6, 18, 20, 40, 42.
508165
а) да; б) нет; в) 6, 18, 20, 40, 42.
PDF-версии: