РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 508162 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 97

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно левая круглая скобка 1 минус \log _9x левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка .$

Решение. Найдем ограничения на x.

$система выражений новая строка x плюс 6 больше 0 , новая строка 6 минус x больше 0 , новая строка x больше 0 , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше 6 , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби . конец системы .$

Перейдем к логарифмам по основанию 3. При найденных ограничениях на x:

$\log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно левая круглая скобка 1 минус \log _9x левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно \log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: \log _3 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка умножить на \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно$ $\log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно левая круглая скобка 1 минус \log _9x левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: \log _3 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка умножить на \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно \log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус \log _3 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка равносильно \log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно \log _3 дробь: числитель: 9x, знаменатель: 6 минус x конец дроби равносильно x плюс 6 плюс дробь: числитель: 9x, знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно \log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус \log _3 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно \log _3 дробь: числитель: 9x, знаменатель: 6 минус x конец дроби равносильно x плюс 6 плюс дробь: числитель: 9x, знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 36 плюс 9x, знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 9x минус 36, знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 12 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0.$

На $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ;6 правая круглая скобка ;x плюс 12 больше 0, x минус 6 меньше 0.$

Следовательно, $дробь: числитель: левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 12 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x минус 3 больше или равно 0 , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , новая строка 0 меньше x меньше 6 конец совокупности . равносильно 0 меньше или равно x меньше 6.$

С частичным использованием метода рационализации

На множестве $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ;6 правая круглая скобка :$

$\log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус \log _3 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка равносильно \log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка плюс \log левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно$ $\log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка минус \log _3 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log _3 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка плюс \log левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно \log _3 левая круглая скобка левая круглая скобка 6 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно \log _3 левая круглая скобка 36 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка 3 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 36 минус x в квадрате минус 9x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно \log _3 левая круглая скобка левая круглая скобка 6 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log _3 левая круглая скобка 36 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка 3 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 36 минус x в квадрате минус 9x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно \log _3 левая круглая скобка левая круглая скобка 6 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log _3 левая круглая скобка 36 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно \log _3 левая круглая скобка 9x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 36 минус x в квадрате минус 9x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно x в квадрате плюс 9x минус 36 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 12 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус 12 , новая строка x больше или равно 3 . конец совокупности .$

Но с учетом ограничений на х будем иметь: $3 меньше или равно x меньше 6.$

Ответ: $левая квадратная скобка 3;6 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3