РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 508154 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 96

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $\log _2 левая круглая скобка 2 минус косинус x правая круглая скобка =1 плюс 2\log _2 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка .$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$\log _2 левая круглая скобка 2 минус косинус x правая круглая скобка =1 плюс 2\log _2 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка равносильно система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка 2 минус косинус x=2 синус в квадрате x конец системы . равносильно$

$система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка 2 минус 2 косинус в квадрате x плюс косинус x минус 2=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка 2 косинус в квадрате x минус косинус x=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка косинус x умножить на левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно$ $система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка 2 минус 2 косинус в квадрате x плюс косинус x минус 2=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка 2 косинус в квадрате x минус косинус x=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка косинус x умножить на левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно$ $система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка 2 минус 2 косинус в квадрате x плюс косинус x минус 2=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка 2 косинус в квадрате x минус косинус x=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка синус x меньше 0 , новая строка косинус x умножить на левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений синус x меньше 0, совокупность выражений косинус x = 0, косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Отбор корней.

Из серии $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z:$

$Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 меньше или равно минус 1 плюс 4n меньше или равно 5 равносильно 3 меньше или равно 4n меньше или равно 6 равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно n=1.$ $Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 меньше или равно минус 1 плюс 4n меньше или равно 5 равносильно$
$равносильно 3 меньше или равно 4n меньше или равно 6 равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно n=1.$

При этом $x_1= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Из серии $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z:$

$Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 6 меньше или равно минус 2 плюс 12n меньше или равно 15 равносильно 8 меньше или равно 12n меньше или равно 17 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби равносильно n=1.$ $Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 6 меньше или равно минус 2 плюс 12n меньше или равно 15 равносильно$
$равносильно 8 меньше или равно 12n меньше или равно 17 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби равносильно n=1.$

При этом $x_2= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n n принадлежит Z.$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508154

а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n n принадлежит Z.$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 96

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508154	а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n n принадлежит Z.$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$