РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 508144 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 94

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка в квадрате минус логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 2 минус 5x минус 3x в квадрате конец дроби больше или равно 0.$

Решение. Найдем корни знаменателя левой части неравенства.

$3x в квадрате плюс 5x минус 2=0 равносильно x= дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 25 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 2 , новая строка x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Преобразуем неравенство так:

$дробь: числитель: 2\log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3\log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: \log _511 конец дроби , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2\log _511 минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: \log _511 умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: 2\log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3\log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: \log _511 конец дроби , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2\log _511 минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: \log _511 умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка \log _5121 минус \log _5125 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка умножить на \log _5 дробь: числитель: 121, знаменатель: 125 конец дроби , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ $равносильно дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка \log _5121 минус \log _5125 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка умножить на \log _5 дробь: числитель: 121, знаменатель: 125 конец дроби , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Далее найдем ограничения на х и перейдем к дробно-рациональному неравенству используя метод рационализации.

$дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 4x минус 11 больше 0 , новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений новая строка x меньше 2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , новая строка x больше 2 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , конец системы новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби конец совокупности . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений новая строка x меньше 2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , новая строка x больше 2 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , конец системы новая строка x не равно минус 2, новая строка дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби \geqslant0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 4x минус 11 больше 0 , новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 11 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений новая строка x меньше 2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , новая строка x больше 2 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , конец системы новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби конец совокупности . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений новая строка x меньше 2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , новая строка x больше 2 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , конец системы новая строка x не равно минус 2, новая строка дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби \geqslant0. конец совокупности .$

Заметим, что $минус 2 меньше 2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ;2 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента меньше 6.$

Действительно, $минус 2 меньше 2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента равносильно корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента меньше 4 равносильно 15 меньше 16$ (неравенство очевидное).

$2 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента меньше 6 равносильно корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента меньше 4$ (неравенство доказано выше).

Искомыми значениями переменной будут элементы множества $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2;2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2;2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

508144

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2;2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$