Ре­ше­ние. а)   За­ме­тим, что дру­гих раз­ло­же­ний на сумму двух по­сле­до­ва­тель­ных чисел быть не может.

б)  Пусть - сумма по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел ( так как слу­чай уже разо­бран в пунк­те а)). Тогда по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии по­лу­ча­ем Зна­чит, 4030 де­лит­ся на n, кроме того За­ме­тим, что

Рас­смот­рим раз­лич­ные воз­мож­ные зна­че­ния n:

Если n=2, то a₁=1007; a_n=1008.

Если n=5, то a₁=401; a_n=405.

Если n=10, то a₁=197; a_n=206.

Если n=13, то a₁=149; a_n=161.

Если n=26, то a₁=65; a_n=90.

Если n=31, то a₁=50; a_n=80.

Если n=62, то a₁=2; a_n=63.

При n>62 a₁ ста­но­вит­ся мень­ше 0, эти ва­ри­ан­ты не­воз­мож­ны.

Таким об­ра­зом, су­ще­ству­ет всего 7 спо­со­бов пред­ста­вить число 2015 в виде суммы n по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, при n = 2; 5; 10; 13; 26; 31; 62.

в)  Пусть - сумма по­сле­до­ва­тель­ных не­чет­ных на­ту­раль­ных чисел. Тогда по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии по­лу­ча­ем Пусть тогда Зна­чит, можно пред­ста­вить 2015 в виде суммы пяти по­сле­до­ва­тель­ных не­чет­ных на­ту­раль­ных чисел.

Ответ: а) ; б) 7 спо­со­бов; в) да.