РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 508122 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 91

Классификатор стереометрии: Правильная треугольная призма, Сечение  — треугольник, Сечение, проходящее через три точки, Угол между плоскостями

Сложная стереометрия. Многогранники

На боковых ребрах $AA_1,BB_1,CC_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ $левая круглая скобка AA_1||BB_1||CC_1 правая круглая скобка$ расположены точки $K,L$ и М соответственно. Известно, что угол между прямыми KL и АВ равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ а угол между прямым КМ и АС – $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

а)  Постройте плоскость, проходящую через точки $K,L$ и М.

б)  Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.

Решение. а)  Последовательно соединим отрезками точки K, L и M. $\Delta KLM$   — искомое сечение.

б)  С помощью параллельного переноса пространства совместим точки А и K, M и C₁. При этом точка Lперейдет на середину ребра BB₁.

Пусть сторона основания призмы равна 1.

При этом $BL=1;KL= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;KM= дробь: числитель: KC, знаменатель: косинус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =2;$

$MC=AC умножить на тангенс 60 градусов = корень из 3 ;B_1L=$
$=BB_1 минус BL=MC минус BL= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1.$ $MC=AC умножить на тангенс 60 градусов =$
$= корень из 3 ;B_1L=BB_1 минус BL=$
$=MC минус BL= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1.$

В прямоугольном треугольнике LB₁M:

$LM= корень из: начало аргумента: BL_1 конец аргумента в квадрате плюс B_1M в квадрате = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка конец аргумента в квадрате плюс 1=$
$= корень из: начало аргумента: 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 плюс 1 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$ $LM= корень из: начало аргумента: BL_1 конец аргумента в квадрате плюс B_1M в квадрате =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка конец аргумента в квадрате плюс 1=$
$= корень из: начало аргумента: 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 плюс 1 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$ $LM= корень из: начало аргумента: BL_1 конец аргумента в квадрате плюс B_1M в квадрате =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка конец аргумента в квадрате плюс 1=$
$= корень из: начало аргумента: 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 плюс 1 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$

Найдем площадь треугольника KLM. Но прежде вычислим $синус \angle MKL.$

По теореме косинусов: $LM в квадрате =KM в квадрате плюс KL в квадрате минус 2KM умножить на KL умножить на косинус \angle MKL;5 минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =$
$=4 плюс 2 минус 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на косинус \angle MKL;$

$косинус \angle MKL= дробь: числитель: 1 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ; синус \angle MKL=$
$= корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 1 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 12, знаменатель: 32 конец дроби конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 32 минус 13 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 32 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$ $косинус \angle MKL=$
$= дробь: числитель: 1 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ; синус \angle MKL=$
$= корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 1 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 12, знаменатель: 32 конец дроби конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 32 минус 13 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 32 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$ $косинус \angle MKL=$
$= дробь: числитель: 1 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ; синус \angle MKL=$
$= корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 1 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 12, знаменатель: 32 конец дроби конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 32 минус 13 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 32 конец дроби конец аргумента =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

$S левая круглая скобка KLM правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KM умножить на KL умножить на синус \angle MKL=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .S левая круглая скобка ABC правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ $S левая круглая скобка KLM правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KM умножить на KL умножить на синус \angle MKL=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .S левая круглая скобка ABC правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ $S левая круглая скобка KLM правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KM умножить на KL умножить на синус \angle MKL=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .S левая круглая скобка ABC правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ $S левая круглая скобка KLM правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KM умножить на KL умножить на синус \angle MKL=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .S левая круглая скобка ABC правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Если искомый угол $альфа ,$ то $косинус альфа = дробь: числитель: S левая круглая скобка ABC правая круглая скобка , знаменатель: S левая круглая скобка KLM правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 4, знаменатель: 4 умножить на корень из: начало аргумента: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента конец дроби =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента . альфа = арккосинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$

Ответ: б) $арккосинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

508122

б) $арккосинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 91

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508122	б) $арккосинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 19 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$