РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 508121 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 91

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $4 синус в квадрате x плюс 4 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка =3 синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая круглая скобка .$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$4 синус в квадрате x плюс 4 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка =3 синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 4 синус в квадрате x минус 4 синус x минус 3=0 равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: 2\pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 12 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно синус x= дробь: числитель: 2\pm 4, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$ $4 синус в квадрате x плюс 4 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка =3 синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 4 синус x минус 3=0 равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: 2\pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 12 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно синус x= дробь: числитель: 2\pm 4, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка синус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z.$

Уравнение $синус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ решений не имеет.

б)  Для выборки корней решим неравенства относительно целочисленных значений $n.$

Из серии корней $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z.$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n меньше 3 Пи равносильно минус 9 меньше минус 1 плюс 12n меньше 18 равносильно$
$равносильно минус 8 меньше 12n меньше 19 равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше n меньше дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка n=0 , новая строка n=1 . конец совокупности .$

При $n=0:x_1= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ при $n=1:x_2= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Из серии корней $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z.$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n меньше 3 Пи равносильно минус 9 меньше минус 5 плюс 12n меньше 18 равносильно$
$равносильно минус 4 меньше 12n меньше 23 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше n меньше дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка n=0 , новая строка n=1 . конец совокупности .$

При $n=0:x_3= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ при $n=1:x_4= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508121

а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 91

Методы алгебры: Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508121	а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$