РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 508113 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 90

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: \ctg x конец аргумента конец дроби =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3,5 Пи ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Заметим, что $\ctg x больше 0.$

Перейдем к уравнению-следствию: $2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1=0.$

$2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1=0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=1 , новая строка косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Но при $косинус x=1 \ctg x$ не существует, следовательно, равенство $косинус x=1$ невозможно.

Условие $косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ выполняется во второй и третьей координатных четвертях. Но во второй четверти котангенс отрицателен, что также невозможно. Единственно допустимо: $x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z.$

б)  Выборка корней.

Решим неравенство $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно минус 2 Пи$ относительно целых $n.$

$минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно минус 2 Пи равносильно минус 21 меньше или равно минус 4 плюс 12n меньше или равно минус 12 равносильно$
$равносильно минус 17 меньше или равно 12n меньше или равно минус 8 равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно n меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно n= минус 1.$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 21 меньше или равно минус 4 плюс 12n меньше или равно минус 12 равносильно минус 17 меньше или равно 12n меньше или равно минус 8 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно n меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно n= минус 1.$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно минус 2 Пи равносильно$
$равносильно минус 21 меньше или равно минус 4 плюс 12n меньше или равно минус 12 равносильно$
$равносильно минус 17 меньше или равно 12n меньше или равно минус 8 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно n меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно n= минус 1.$

При $n= минус 1:x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508113

а) $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 90

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508113	а) $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$