РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 508109 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше \log _5 левая круглая скобка 5x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка .$

Решение. Заметим, что $x в квадрате минус 2x плюс 2 больше 0$ при любом $x принадлежит R,$ поскольку $x в квадрате минус 2x плюс 1 плюс 1 больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 больше 0.$

Аналогично $5x в квадрате минус 10x плюс 10 больше 0,$ так как $5x в квадрате минус 10x плюс 10=5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка .$

Перепишем заданное уравнение так: $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 плюс \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка .$

Введем новую переменную: пусть $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =t,t больше или равно 0.$ Тогда:

$1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =t в квадрате ,\log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =1 минус t в квадрате ,1 плюс \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =2 минус t в квадрате .$ $1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =t в квадрате ,\log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =$
$=1 минус t в квадрате ,1 плюс \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка =2 минус t в квадрате .$

$t меньше 2 минус t в квадрате равносильно t в квадрате плюс t минус 2 меньше 0 равносильно минус 2 меньше t меньше 1.$

Так как $t больше или равно 0,$ то $0 меньше или равно t меньше 1.$

Далее будем иметь:

$корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 равносильно система выражений новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 , новая строка 1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 меньше или равно 5 , новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$ $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 , новая строка 1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 меньше или равно 5 , новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$ $корень из: начало аргумента: 1 минус \log конец аргумента _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 , новая строка 1 минус \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 меньше или равно 5 , новая строка \log _5 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x минус 3 меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс 2 больше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс 1 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3 , новая строка x не равно 1 . конец системы .$

Решениями неравенства являются элементы множества $левая квадратная скобка минус 1;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 1;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

508109

$левая квадратная скобка минус 1;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508109	$левая квадратная скобка минус 1;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$