РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 508101 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 86

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $синус 2x плюс косинус x плюс 2 синус x= минус 1;$

б)   Найдите все корни на промежутке $левая круглая скобка 0;5 правая круглая скобка$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$синус 2x плюс косинус x плюс 2 синус x= минус 1 равносильно 2 синус x умножить на косинус x плюс косинус x плюс 2 синус x плюс 1=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2 синус x умножить на косинус x плюс 2 синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно 2 синус x умножить на левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус x= минус 1 , новая строка синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка синус x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z. конец совокупности .$

б)  Прежде докажем, что $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше 5 меньше 2 Пи .$

$Пи меньше 3,15 равносильно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше 4,7252 Пи больше 6,28.4,725 меньше 5 меньше 6,28.$

Значит, $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше 5 меньше 2 Пи .x_1= Пи ;x_2= Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Докажем также, что $x=2 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ искомым корнем не является. Для этого достаточно показать: $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби больше 5$ или $11 умножить на 3,14 больше 30.$ $11 умножить на 3,14=34,54.34,54 больше 30.$

Ответ: а) $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z.$ б) $Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508101

а) $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z.$ б) $Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 86

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508101	а) $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z.$ б) $Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$