PDF-версии: 
В трапеции ABCD AD || BC, AB = 2 и E — точка пересечения биссектрисы угла BAD и прямой BC. Окружность, вписанная в треугольник ABE, касается сторон AB и BE в точках M и H соответственно, MH = 1.
а) Докажите, что MH || AE;
б) Найдите угол BAD.
Решение. а) Заметим, что
поскольку они оба равны 
— один как накрест лежащий, второй — как угол при биссектрисе.
Поэтому треугольник ABE равнобедренный. Далее 
как касательные к вписанной окружности треугольника ABE. Тогда треугольники BMH и BAE подобны (
общий, 
) и 
откуда 
б) Пусть 
тогда коэффициент подобия треугольников BMH и BAE равен 
Тогда
Однако из той же теоремы о касательных, проведенных из одной точки, имеем 
то есть 
откуда 
Значит, треугольник BMH равносторонний, тогда 
Ответ: 120°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |