РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 506074 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 39

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $2 левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка синус 2x=3 синус x.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$2 левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка синус 2x=3 синус x равносильно 4 синус x косинус x левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка минус 3 синус x=0 равносильно$

$равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 4 косинус x минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка 4 косинус в квадрате x минус 4 косинус x минус 3=0. конец совокупности равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи n|,n принадлежит Z , новая строка косинус x= дробь: числитель: 2\pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 12 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности равносильно$ $равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 4 косинус x минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка 4 косинус в квадрате x минус 4 косинус x минус 3=0. конец совокупности равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи n|,n принадлежит Z , новая строка косинус x= дробь: числитель: 2\pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 12 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности равносильно$ $равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 4 косинус x минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка 4 косинус в квадрате x минус 4 косинус x минус 3=0. конец совокупности равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи n|,n принадлежит Z , новая строка косинус x= дробь: числитель: 2\pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 12 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка косинус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности$

Уравнение $косинус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ решений не имеет. Итак, общим решением заданного уравнения являются числа вида $Пи n,n принадлежит Z ;$ $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)   $x_1=0;$ $x_2= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $x_3= Пи ;$ $x_4= Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $x_5=2 Пи .$

Ответ: а) $Пи n,n принадлежит Z .$ $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n;$ б) $0;$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $Пи ;$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $2 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

506074

а) $Пи n,n принадлежит Z .$ $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n;$ б) $0;$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $Пи ;$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $2 Пи .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 39

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506074	а) $Пи n,n принадлежит Z .$ $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n;$ б) $0;$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $Пи ;$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $2 Пи .$