РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 506063 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 37

Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида, Шар

Сложная стереометрия. Круглые тела

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S, стороной основания равной 6 и боковым ребром 5, проведена плоскость MKS через середины ребер AB и $AD.$ В пирамиду вписан шар. Найти площадь сечения шара плоскостью $MKS.$

Решение. Решение:

Пусть центр вписанного шара  — точка $О, Е$   — центр основания пирамиды, F  — середина отрезка $CD, L$   — точка пересечения MK и $АС,$ $принадлежит SL,OH\bot левая круглая скобка SK правая круглая скобка .$

Плоскость MSF разобьет заданную пирамиду на две симметричные пирамиды. Очевидно, что центр вписанного шара лежит в этой плоскости и на высоте SE заданной пирамиды. Радиус шара R будет равен радиусу окружности, вписанной в треугольник $MSF.$

$AC=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;$ $AE=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;$ $AL=LE= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $SE= корень из: начало аргумента: AS конец аргумента в квадрате минус AE в квадрате = корень из: начало аргумента: 25 минус 18 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

$MS=FS= корень из: начало аргумента: SC конец аргумента в квадрате минус FC в квадрате = корень из: начало аргумента: 25 минус 9 конец аргумента =4;$ $MS=FS= корень из: начало аргумента: SC конец аргумента в квадрате минус FC в квадрате =$
$= корень из: начало аргумента: 25 минус 9 конец аргумента =4;$ $MF=AD=6.$ Значит, $p левая круглая скобка MSF правая круглая скобка =7,$ $S левая круглая скобка MSF правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MF умножить на SE=3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

$S левая круглая скобка MSF правая круглая скобка =p левая круглая скобка MSF правая круглая скобка умножить на R,$ $R= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби .$

Искомое сечение есть круг. Радиус его обозначим $r.$ Очевидно, что $r в квадрате =R в квадрате минус OH в квадрате .$ Найдем $OH.$ В прямоугольном треугольнике SHO $OH=SO умножить на синус \angle OSH.$

$SO=SE минус R= корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента минус дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби .$

В прямоугольном треугольнике LSE

$тангенс \angle LSE= дробь: числитель: LE, знаменатель: SE конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 умножить на корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец дроби = тангенс \angle OSH.$ $тангенс \angle LSE= дробь: числитель: LE, знаменатель: SE конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 умножить на корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец дроби = тангенс \angle OSH.$

$c тангенс \angle OSH= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате \angle OSH конец дроби =1 плюс c тангенс в квадрате \angle OSH=1 плюс дробь: числитель: 14, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 23, знаменатель: 9 конец дроби .$ $синус \angle OSH= дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 23 конец аргумента конец дроби .$

$OH=SO умножить на синус \angle OSH$ = $дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 23 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из: начало аргумента: 161 конец аргумента конец дроби .$ $r в квадрате =R в квадрате минус OH в квадрате = дробь: числитель: 9, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 144, знаменатель: 161 конец дроби = дробь: числитель: 207 минус 144, знаменатель: 161 конец дроби = дробь: числитель: 63, знаменатель: 161 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 23 конец дроби .$ $r в квадрате =R в квадрате минус OH в квадрате = дробь: числитель: 9, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 144, знаменатель: 161 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 207 минус 144, знаменатель: 161 конец дроби = дробь: числитель: 63, знаменатель: 161 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 23 конец дроби .$

$S_= Пи r в квадрате = дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 23 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 23 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 23 конец дроби .$

506063

$дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 23 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 37

Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида, Шар

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506063	$дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 23 конец дроби .$