РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 506056 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 36

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена  — сумма или разность, Формулы двойного угла, Формулы половинного аргумента

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус 2x конец аргумента = корень из: начало аргумента: косинус x минус синус x минус 1 конец аргумента .$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Введем новую переменную. Пусть $косинус x минус синус x=t, t минус 1 больше или равно 0,$ т. е. $t больше или равно 1.$ Тогда

$косинус в квадрате x минус 2 синус x умножить на косинус x плюс синус в квадрате x=t в квадрате равносильно$
$равносильно 1 минус синус 2x=t в квадрате равносильно синус 2x=1 минус t в квадрате .$ $косинус в квадрате x минус 2 синус x умножить на косинус x плюс синус в квадрате x=t в квадрате равносильно$
$равносильно 1 минус синус 2x=t в квадрате равносильно$
$равносильно синус 2x=1 минус t в квадрате .$

$корень из: начало аргумента: 1 минус t конец аргумента в квадрате = корень из: начало аргумента: t минус 1 конец аргумента равносильно система выражений новая строка t минус 1 больше или равно 0 новая строка 1 минус t в квадрате =t минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка t больше или равно 1 новая строка t в квадрате плюс t минус 2=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка t больше или равно 1 новая строка совокупность выражений t=1 t= минус 2 конец системы . конец совокупности . равносильно t=1.$ $корень из: начало аргумента: 1 минус t конец аргумента в квадрате = корень из: начало аргумента: t минус 1 конец аргумента равносильно система выражений новая строка t минус 1 больше или равно 0 новая строка 1 минус t в квадрате =t минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка t больше или равно 1 новая строка t в квадрате плюс t минус 2=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка t больше или равно 1 новая строка совокупность выражений t=1 t= минус 2 конец системы . конец совокупности . равносильно t=1.$ $корень из: начало аргумента: 1 минус t конец аргумента в квадрате = корень из: начало аргумента: t минус 1 конец аргумента равносильно$
$равносильно система выражений новая строка t минус 1 больше или равно 0 новая строка 1 минус t в квадрате =t минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка t больше или равно 1 новая строка t в квадрате плюс t минус 2=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка t больше или равно 1 новая строка совокупность выражений t=1 t= минус 2 конец системы . конец совокупности . равносильно t=1.$

Перейдем к переменной $x:$

$косинус x минус синус x=1 равносильно 1 минус косинус x плюс синус x=0 равносильно$ $косинус x минус синус x=1 равносильно$
$равносильно 1 минус косинус x плюс синус x=0 равносильно$

$равносильно 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 новая строка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$ $равносильно 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 новая строка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = Пи n,n принадлежит Z , новая строка tg дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = Пи n,n принадлежит Z , новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x=2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = Пи n,n принадлежит Z , новая строка tg дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = Пи n,n принадлежит Z , новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x=2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  

$x_1= минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_2= минус 2 Пи ;$ $x_3= минус 2 Пи плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_4=0.$

Ответ: а) $2 Пи n, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус 2 Пи ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

506056

а) $2 Пи n, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус 2 Пи ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 36

Методы алгебры: Замена  — сумма или разность, Формулы двойного угла, Формулы половинного аргумента

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506056	а) $2 Пи n, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус 2 Пи ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0.$