PDF-версии: 
Найдите все значения b, при которых уравнение
имеет единственное решение.
Решение. Обозначим 
и перепишем уравнение в виде
Сразу заметим, что x = −1 корнем этого уравнения не будет.
Разберем два случая.
Случай 1.
Поделим тогда обе части уравнения на 
Получим
Обозначая 
получаем
Заметим, что при 
переменная t принимает все значения из промежутка 
причем ровно по одному разу. Поэтому вопрос сводится к тому, сколько корней на промежутке 
имеет это квадратное уравнение.
Случай 2. 
Поделим тогда обе части уравнения на Получим
Обозначая 
получаем
Заметим, что при 
переменная t принимает все значения из промежутка (−1; 0], причем ровно по одному разу. Поэтому вопрос сводится к тому, сколько корней на промежутке (−1; 0] имеет это квадратное уравнение.
Итак, задача свелась к такой — при каких значениях параметра a уравнение 
имеет ровно один корень на множестве 
Во-первых, это может произойти, если его дискриминант равен нулю. 
Это невозможно при неотрицательных a.
Во-вторых, это может произойти, если его дискриминант положителен, но только один корень лежит в нужном множестве. Эти корни равны 
Если a = 0, то корни равны 
и это нам подходит.
Если 
то 
поэтому 
и 
нам подходит.
Если 
то 
поэтому и 
нам не подходит.
Если 
то 
поэтому 
и нам подходит.
Итак,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |