PDF-версии: 
Окружности радиусов 3 и 8 касаются друг друга. Через центр одной из них проведены две прямые, каждая из которых касается другой окружности (точки A и B — точки касания). Найдите расстояние между точками A и B.
Решение. Решим сначала в общем виде такую задачу.
Точка находися на расстоянии 
от центра окружности радиуса r. Из нее проведены две касательные. Найти расстояние между точками касания.
Заметим, что эта точка, центр окружности, и точка касания образуют прямоугольный треугольник, а его высота — половина искомого расстояния. Поэтому искомое расстояние есть 
Перейдем к исходной задаче. Если окружности касаются внешним образом, и касательные проведены к большей окружности, то 
и ответ 
Если окружности касаются внешним образом, и касательные проведены к меньшей окружности, то 
и ответ 
Если окружности касаются внутренним образом, и касательные проведены к меньшей окружности, то 
и ответ 
Если окружности касаются внутренним образом и касательные проведены к большей окружности, то это невозможно, поскольку центр меньшей лежит внутри большей.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |