РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 506038 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 33

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $косинус 2x плюс 2 косинус x плюс 7=2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 4 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка 3;4 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$косинус 2x плюс 2 косинус x плюс 7=2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 4 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$

$равносильно 1 плюс косинус 2x плюс 2 косинус x плюс 6=2 синус левая круглая скобка 4 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 4 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$

$равносильно 2 косинус в квадрате x плюс 2 косинус x плюс 6= минус 2 косинус x плюс 2 минус 2 косинус x равносильно 2 косинус в квадрате x плюс 6 косинус x плюс 4=0 равносильно$ $равносильно 2 косинус в квадрате x плюс 2 косинус x плюс 6= минус 2 косинус x плюс 2 минус 2 косинус x равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x плюс 6 косинус x плюс 4=0 равносильно$

$равносильно косинус в квадрате x плюс 3 косинус x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений косинус x= минус 1 косинус x= минус 2 конец совокупности . равносильно косинус x= минус 1 равносильно x= Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ $равносильно косинус в квадрате x плюс 3 косинус x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений косинус x= минус 1 косинус x= минус 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x= минус 1 равносильно x= Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

Уравнение $косинус x= минус 2$ решений не имеет.

б)  Ясно, что $левая квадратная скобка 3;4 правая квадратная скобка \subset левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше 3 меньше Пи ,$ $Пи меньше 4 меньше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Следовательно, на $левая квадратная скобка 3;4 правая квадратная скобка$ найдется лишь один корень заданного уравнения, равный $Пи .$

Ответ: $а правая круглая скобка Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $а правая круглая скобка Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $Пи .$

506038

$а правая круглая скобка Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $Пи .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 33

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506038	$а правая круглая скобка Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $Пи .$