РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д13 C3 № 506022 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 30

Классификатор алгебры: Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Системы сложных неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств: $система выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус x в кубе умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 16 минус 2x в кубе , новая строка \log _0,1 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка больше или равно x минус 1. конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство системы:

$2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус x в кубе умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 16 минус 2x в кубе равносильно 8 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус x в кубе умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 16 плюс 2x в кубе меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус x в кубе правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 8 минус x в кубе правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус x в кубе умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 16 минус 2x в кубе равносильно$
$равносильно 8 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус x в кубе умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 16 плюс 2x в кубе меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус x в кубе правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 8 минус x в кубе правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x в кубе минус 8 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0$

$равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно 1, новая строка x больше или равно 2. конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно 1, новая строка x больше или равно 2. конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно 1, новая строка x больше или равно 2. конец совокупности .$

Рассмотрим второе неравенство системы. Найдем ограничения на $x:$

$10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 9 равносильно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 10 в степени левая круглая скобка десятичный логарифм 9 правая круглая скобка равносильно x больше десятичный логарифм 9.$

Для таких $x:$

$\log _0,1 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка больше или равно \log _0,10,1 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log _0,1 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка больше или равно \log _0,10,1 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 меньше или равно 0,1 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$ $\log _0,1 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка больше или равно \log _0,10,1 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log _0,1 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка больше или равно \log _0,10,1 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 меньше или равно 0,1 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 меньше или равно дробь: числитель: 10, знаменатель: 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби равносильно 10 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 10 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 10 равносильно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 10 равносильно x меньше или равно 1.$ $равносильно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 меньше или равно дробь: числитель: 10, знаменатель: 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно 10 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 10 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 10 равносильно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 10 равносильно x меньше или равно 1.$ $равносильно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 меньше или равно дробь: числитель: 10, знаменатель: 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно 10 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 10 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 10 равносильно$
$равносильно 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 10 равносильно x меньше или равно 1.$

Заметим, что $десятичный логарифм 9 меньше 1.$ Следовательно, решением второго неравенства системы является множество $левая круглая скобка десятичный логарифм 9;1 правая квадратная скобка .$

Пресекая решения обоих неравенств, получим и решение заданной системы: $левая круглая скобка десятичный логарифм 9;1 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка десятичный логарифм 9;1 правая квадратная скобка$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3