PDF-версии: 
Две прямые, перпендикулярные стороне АС треугольника ABC, делят этот треугольник на три равновеликие части. Известно, что отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны между собой и равны стороне АС. Найдите углы треугольника ABC.
Решение. Разберем два случая.
Случай I. Обозначим точки, как показано на рисунке. Площади треугольников APM и QNC равны. Значит,
откуда 
и 
Пусть 
Так как PM и QN делят треугольник ABC на три равновеликие части, что 
Если сложить треугольники APM и QNC по большему катету, то получится треугольник подобный ABC, с коэффициентом подобия равным 
Значит, 
Имеем:
В этом случае углы треугольника суть 
или 
Случай II. Пусть одна из данных прямых пересекает AC, а другая — продолжение AC. Обозначим точки, как показано на рисунке. Пусть без ограничения общности
и 
Тогда 
откуда 
и 
откуда 
Следовательно, треугольники ADE и BGF равны, и 
Пусть 
тогда из подобия треугольников AGL и ADE следует, что 
то есть 
Тогда
Таким образом, 
С другой стороны, DGHE — параллелограмм, значит, прямые EH и AB параллельны и треугольники ECH и ACB подобны, следовательно,
откуда 
Приравнивая полученные выражения, получаем уравнение:
что дает 
Заметим, что
Наконец,
В этом случае углы треугольника: 
Ответ: 
или 
или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или или или