РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 506002 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 27

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Однородные тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $\log _2 левая круглая скобка 2 синус в квадрате 2x плюс 1 правая круглая скобка минус 2\log _2 косинус x=1 плюс \log _25.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Найдем ограничения на $x.$ Заметим, что $1 меньше или равно 2 синус в квадрате 2x плюс 1 меньше или равно 3,$ то есть. выражение стоящее под первым знаком логарифма положительно при всех действительных значениях переменной $x.$ Однако должно выполняться и условие $косинус x больше 0,$ то есть, уравнение имеет смысл при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству $косинус x больше 0.$ Для таких x будем иметь:

$\log _2 левая круглая скобка 2 синус в квадрате 2x плюс 1 правая круглая скобка минус \log _2 косинус в квадрате x=\log _22 плюс \log _25 равносильно \log _2 дробь: числитель: 2 синус в квадрате 2x плюс 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =\log _210 равносильно$ $\log _2 левая круглая скобка 2 синус в квадрате 2x плюс 1 правая круглая скобка минус \log _2 косинус в квадрате x=\log _22 плюс \log _25 равносильно$
$равносильно \log _2 дробь: числитель: 2 синус в квадрате 2x плюс 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =\log _210 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2 синус в квадрате 2x плюс 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =10 равносильно 2 синус в квадрате 2x плюс 1=10 косинус в квадрате x равносильно 2 умножить на 4 синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате x минус 10 косинус в квадрате x плюс 1=0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 2 синус в квадрате 2x плюс 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =10 равносильно 2 синус в квадрате 2x плюс 1=10 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 умножить на 4 синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате x минус 10 косинус в квадрате x плюс 1=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 8 минус 8 косинус в квадрате x правая круглая скобка умножить на косинус в квадрате x минус 10 косинус в квадрате x плюс 1=0 равносильно 8 косинус в квадрате x минус 8 косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x минус 10 косинус в квадрате x плюс 1=0 равносильно$ $равносильно левая круглая скобка 8 минус 8 косинус в квадрате x правая круглая скобка умножить на косинус в квадрате x минус 10 косинус в квадрате x плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 8 косинус в квадрате x минус 8 косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x минус 10 косинус в квадрате x плюс 1=0 равносильно$

$равносильно 8 косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 2 косинус в квадрате x минус 1=0 равносильно косинус в квадрате x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби равносильно косинус в квадрате x= дробь: числитель: минус 1\pm 3, знаменатель: 8 конец дроби .$ $равносильно 8 косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 2 косинус в квадрате x минус 1=0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби равносильно косинус в квадрате x= дробь: числитель: минус 1\pm 3, знаменатель: 8 конец дроби .$

Равенство $косинус в квадрате x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ невыполнимо ни при каких $x принадлежит R :$ $косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно косинус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Однако, равенство $косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ не относится к числу разрешенных значений $x.$ Таким образом,

$косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Ясно, что промежутку $левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая квадратная скобка$ принадлежат лишь два корня заданного уравнения: $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

506002

а) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 27

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506002	а) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$