PDF-версии: 
Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18. Найдите основания этой трапеции.
Решение. Пусть в трапеции ABCD имеем
E — точка касания на стороне CD, CE = 8, ED = 18. Пусть также O — центр вписанной окружности. Тогда треугольник COD прямоугольный (так как CO и DO — биссектрисы односторонних углов трапеции). OE — его высота, опущенная на гипотенузу, поэтому
Итак, радиус окружности равен 12. Поэтому высота трапеции равна 24.
Заметим также, что 
откуда AB = 30.
Опустим теперь высоты BG и CH на основание AD. Из треугольника ABG получим 
из треугольника CDH получим 
Рассмотрим два возможных случая:
1. Обе точки G и H лежат на основании трапеции, тогда
откуда BC = 14,
2. Точка H лежит на основании трапеции, а точка G — на его продолжении, тогда
откуда BC = 32, AD = 56 — 32=24.
Заметим, что случай, когда точка H лежит на продолжении основания трапеции, невозможен, поскольку 
Ответ: 14; 42 или 24; 32.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |