РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д13 C3 № 505998 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 26

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Системы сложных неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений новая строка 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате меньше 7 в степени левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень 8 степени из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 6, новая строка \log _x2 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка 2. конец системы$

Решение. Рассмотрим второе неравенство системы. Найдем ограничения на $x:$

$система выражений 0 меньше x меньше 6 x не равно 1 x не равно 5 конец системы . равносильно x принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Для таких $x:$

$\log _x2 меньше \log _6 минус x2 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус \log _2x, знаменатель: \log _2x умножить на \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$ $\log _x2 меньше \log _6 минус x2 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус \log _2x, знаменатель: \log _2x умножить на \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 6 минус x минус x, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка меньше 0.$ $равносильно дробь: числитель: 6 минус x минус x, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка меньше 0.$

Решим полученное неравенство методом интервалов на $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка$

Таким образом, решениями второго неравенства является множество $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;5 правая круглая скобка .$

Теперь решим первое неравенство системы:

$7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате меньше 7 в степени левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень 8 степени из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 6 равносильно 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате минус 7 умножить на 7 в степени левая круглая скобка минус x плюс дробь: числитель: x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби минус 6 меньше 0 равносильно 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби конец дроби минус 6 меньше 0.$ $7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате меньше 7 в степени левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень 8 степени из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 6 равносильно$
$равносильно 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате минус 7 умножить на 7 в степени левая круглая скобка минус x плюс дробь: числитель: x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби минус 6 меньше 0 равносильно 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби конец дроби минус 6 меньше 0.$ $7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате меньше 7 в степени левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень 8 степени из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 6 равносильно$
$равносильно 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате минус 7 умножить на 7 в степени левая круглая скобка минус x плюс дробь: числитель: x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби минус 6 меньше 0 равносильно$
$равносильно 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби конец дроби минус 6 меньше 0.$

Введем новую переменную. Пусть $7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате =t,t больше 0.$ Тогда:

$t минус дробь: числитель: 7, знаменатель: t конец дроби минус 6 меньше 0 равносильно t в квадрате минус 6t минус 7 меньше 0 равносильно минус 1 меньше t меньше 7 равносильно 0 меньше t меньше 7.$

Перейдем к переменной $x:$

$7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате меньше 7 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x в квадрате минус x плюс 1 больше 0 равносильно x в квадрате минус 8x плюс 8 больше 0 равносильно совокупность выражений x меньше 4 минус корень из: начало аргумента: 16 минус 8 конец аргумента x больше 4 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше 4 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x больше 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности ..$ $7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате меньше 7 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x в квадрате минус x плюс 1 больше 0 равносильно x в квадрате минус 8x плюс 8 больше 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x меньше 4 минус корень из: начало аргумента: 16 минус 8 конец аргумента x больше 4 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше 4 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x больше 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности ..$ $7 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате меньше 7 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x в квадрате минус x плюс 1 больше 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 8x плюс 8 больше 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x меньше 4 минус корень из: начало аргумента: 16 минус 8 конец аргумента x больше 4 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше 4 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x больше 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности ..$

Решения второго неравенства системы: $левая круглая скобка минус бесконечность ;4 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Пересечением решений обоих неравенств является множество $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3