РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 505991 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 25

Классификатор стереометрии: Правильная треугольная призма, Угол между прямой и плоскостью

Сложная стереометрия. Многогранники

Точка M  — середина стороны BC основания ACB правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1.$ Боковое ребро призмы равно $корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента ,$ а сторона основания равна 12. Найдите синус угла между прямой $B_1M$ и плоскостью боковой грани $ABB_1.$

Решение. Поместим призму в декартову систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты необходимых точек:

$M левая круглая скобка 0;0;0 правая круглая скобка , A левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;0;0 правая круглая скобка , B левая круглая скобка 0;6;0 правая круглая скобка , B_1 левая круглая скобка 0;6; корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента правая круглая скобка .$

Составим уравнение плоскости $ABB_1,$ оно имеет вид $ax плюс by плюс cz плюс d=0.$ Имеем:

$система выражений новая строка 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента a плюс d=0 , новая строка 6b плюс d=0 , новая строка 6b плюс корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента c плюс d=0 . конец системы .$

$a= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ; b= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 6d, знаменатель: 6 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента c плюс d=0, c=0.$

Итак, уравнение плоскости: $минус дробь: числитель: d, знаменатель: 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби x минус дробь: числитель: d, знаменатель: 6 конец дроби y плюс d=0$ или $x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента y минус 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0.$ Её нормальный вектор $\overlinen= левая круглая скобка 1; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;0 правая круглая скобка .$

Далее, $\overlineMB_1= левая круглая скобка 0;6; корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента правая круглая скобка ,$ а потому, если искомый угол $\varphi ,$ то

$синус \varphi = дробь: числитель: \left| 1 умножить на 0 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 6 плюс 0 умножить на корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента |, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 плюс 3 плюс 0 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 0 плюс 36 плюс 39 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 умножить на корень из: начало аргумента: 75 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 25 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби = 0,6.$

Ответ: $0,6.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: $0,6.$

505991

$0,6.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 25

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: Правильная треугольная призма, Угол между прямой и плоскостью

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505991	$0,6.$