РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505960 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 20

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения высших степеней

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $косинус 3x плюс синус x умножить на синус 2x=2 косинус в кубе x плюс 2 тангенс x;$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Ограничения на $x:$ $косинус x не равно 0$ или $x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ Для таких x с учетом формулы косинуса тройного аргумента ( $косинус 3x= косинус в кубе x минус 3 синус в квадрате x умножить на косинус x$ ) будем иметь:

$косинус 3x плюс синус x умножить на синус 2x=2 косинус в кубе x плюс 2 тангенс x равносильно косинус в кубе x минус 3 синус в квадрате x умножить на косинус x плюс 2 синус в квадрате x умножить на косинус x минус 2 косинус в кубе x минус дробь: числитель: 2 синус x, знаменатель: косинус x конец дроби =0 равносильно$ $косинус 3x плюс синус x умножить на синус 2x=2 косинус в кубе x плюс 2 тангенс x равносильно$
$равносильно косинус в кубе x минус 3 синус в квадрате x умножить на косинус x плюс 2 синус в квадрате x умножить на косинус x минус 2 косинус в кубе x минус дробь: числитель: 2 синус x, знаменатель: косинус x конец дроби =0 равносильно$

$равносильно минус косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x минус синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате x минус 2 синус x=0 равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 синус x=0 равносильно$ $равносильно минус косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x минус синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате x минус 2 синус x=0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 синус x=0 равносильно$

$равносильно 1 минус синус в квадрате x плюс 2 синус x=0 равносильно синус в квадрате x минус 2 синус x минус 1=0 равносильно синус x=1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента .$ $равносильно 1 минус синус в квадрате x плюс 2 синус x=0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x минус 2 синус x минус 1=0 равносильно синус x=1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента .$

$синус x=1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ (уравнение решений не имеет из-за ограниченности синуса).

$синус x=1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка плюс Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Отбор корней произведем с использованием графика функции $y= синус x.$

Заметим, что:

$x_1= минус Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка ,x_2=0 минус арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка =$
$= минус арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка ,x_3= Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$ $x_1= минус Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка ,x_2=$
$=0 минус арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка = минус арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка ,x_3=$
$= Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Ответ: а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка плюс Пи n, принадлежит Z .$ б) $минус Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , минус арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505960

а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка плюс Пи n, принадлежит Z .$ б) $минус Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , минус арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 20

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505960	а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка плюс Пи n, принадлежит Z .$ б) $минус Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , минус арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , Пи плюс арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$