РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д13 C3 № 505956 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 19

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Системы сложных неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений новая строка 3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 3 плюс 9 в степени левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка , новая строка 2\log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента 2 плюс \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка меньше \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента 31. конец системы .$

Решение. Рассмотрим первое неравенство системы:

$3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 3 плюс 9 в степени левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в кубе умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 4x плюс 4 плюс 1 меньше или равно 3 в кубе умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 3 плюс 3 в кубе умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 7 правая круглая скобка плюс 1 минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 7 правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 7 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 7 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 7 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 7 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 7 правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 3 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 4x плюс 7 правая круглая скобка умножить на x в квадрате меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений x=0 x меньше или равно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности ..$

Итак, решения первого неравенства системы: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка .$

Решим второе неравенство системы. Неравенство имеет смысл при всех значениях x, удовлетворяющих условию:

$2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 больше 2 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно x в квадрате минус 1 больше минус 2 равносильно x в квадрате больше минус 1.$ $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 больше 2 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 1 больше минус 2 равносильно x в квадрате больше минус 1.$

Последнее неравенство верно при всех $x принадлежит R :$

$2\log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента 2 плюс \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка меньше \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента 31 равносильно$
$равносильно \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 2 в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 минус 1 правая круглая скобка меньше \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента 31 равносильно$

$равносильно \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 минус 1 правая круглая скобка меньше \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента 31 равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 минус 1 меньше 31 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 меньше 2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка равносильно x в квадрате плюс 1 меньше 5 равносильно x в квадрате меньше 4 равносильно минус 2 меньше x меньше 2.$ $равносильно \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 минус 1 правая круглая скобка меньше \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента 31 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 минус 1 меньше 31 равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 меньше 2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 1 меньше 5 равносильно x в квадрате меньше 4 равносильно минус 2 меньше x меньше 2.$ $равносильно \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 минус 1 правая круглая скобка меньше \log _ корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента 31 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 минус 1 меньше 31 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 меньше 2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка равносильно x в квадрате плюс 1 меньше 5 равносильно$
$равносильно x в квадрате меньше 4 равносильно минус 2 меньше x меньше 2.$

Решением второго неравенства системы является множество $левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка .$

Найдем пересечение решений обоих неравенств системы. Искомым множеством является $левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

505956

$левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка .$