PDF-версии: 
Две окружности касаются внешним образом. Прямая касается первой окружности в точке M и пересекает вторую окружность в точках A и B. Найдите радиус первой окружности, если известно, что AB = 12, MB = 6, а радиус второй окружности равен 10.
Решение. Обозначим центры окружностей за 
и 
Сразу заметим, что перпендикуляр из 
на AB падает в его середину (обозначим ее за K) и имеет длину 
Обозначим радиус первой окружности за r. Возможны два случая.
1) Точки M и K лежат по одну сторону от прямой 
Тогда 
— прямоугольная трапеция со сторонами 
Опустив в ней высоту из 
найдем по теореме Пифагора 
откуда 
2) Точки M и K лежат по разные стороны от прямой Тогда 
— трапеция со сторонами и диагоналями Опустив в ней высоту из найдем по теореме Пифагора 
откуда 
Ответ: 
или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или