РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д13 C3 № 505908 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 11

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Системы сложных неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений новая строка x в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _2x больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби , новая строка дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 5x правая круглая скобка минус 3, знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 30 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 81 конец дроби меньше 0. конец системы .$

Решение. Рассмотрим первое неравенство. Найдём ограничения на $x.$ Таковыми будут: $x больше 0, x не равно 1.$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 2. Получим:

$\log _2x умножить на \log _2x больше или равно 2 минус \log _2x равносильно$
$равносильно \log _2 в квадрате x плюс \log _2 минус 2 больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка \log _2x меньше или равно минус 2, новая строка \log _2x больше или равно 1 конец совокупности . равносильно$ $\log _2x умножить на \log _2x больше или равно 2 минус \log _2x равносильно$
$равносильно \log _2 в квадрате x плюс \log _2 минус 2 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка \log _2x меньше или равно минус 2, новая строка \log _2x больше или равно 1 конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка \log _2x меньше или равно \log _2 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , новая строка \log _2x больше или равно \log _22 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x больше или равно 2. конец совокупности . .$

Решим второе неравенство системы:

$дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 5x правая круглая скобка минус 3, знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 30 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 81 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 5x правая круглая скобка минус 3, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 30 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 81 конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 5x правая круглая скобка минус 3, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 27 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$ $дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 5x правая круглая скобка минус 3, знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 30 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 81 конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 5x правая круглая скобка минус 3, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 30 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 81 конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 5x правая круглая скобка минус 3, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 27 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 5x минус 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0.$ $равносильно дробь: числитель: 5x минус 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0.$

Решения этого неравенства получим методом интервалов.

Решения второго неравенства: $левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая круглая скобка .$

Пересекая решения обоих неравенств, будем иметь: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2;3 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2;3 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

505908

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2;3 правая круглая скобка .$