PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система 
имеет ровно 2 решения.
Решение. Заметим, что если пара (x, y) является решением системы, то и пара 
тоже является решением. Поэтому все решения системы кроме тех, в которых 
разбиваются на пары. Поэтому в решениях либо есть одна такая пара, либо обе точки 
В этом втором случае 
и годится также точка 
поэтому решений не два, а больше.
Итак, есть одна пара решений. То есть есть единственное положительное x и соответствующее ему y, для которых выполнены оба условия системы.
Тогда 
и 
имеет единственное решение y на отрезке 
имеет единственное решение y на отрезке
Тогда a должно быть максимальным значением функции 
на указанном отрезке.
Найдем это значение, взяв производную и приравняв ее к нулю.
заметим, что 
Теперь подставим в исходную функцию это значение, а также 
— концы отрезка и они же — точки, где не определена производная.
Итак, наибольшее значение этой функции равно 
Ответ: 
Примечание. При графическом способе решения первое уравнение задает окружность, а второе — часть плоскости, лежащую выше бесконечного угла. Полученная в ответе ситуация соответствует случаю, когда стороны угла касаются окружности.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |