РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505870 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 5

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $синус x умножить на левая круглая скобка синус x умножить на косинус в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на левая круглая скобка синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби косинус x правая круглая скобка .$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни на промежутке $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Ограничения на $х:$ $косинус x не равно 0.$ Поскольку $косинус x не равно 0,$ то мы вправе умножить обе части уравнения на выражение $косинус x.$ Далее будем иметь:

$синус x умножить на левая круглая скобка синус x умножить на косинус в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x умножить на косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на косинус x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x умножить на левая круглая скобка синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби косинус x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно синус x умножить на левая круглая скобка синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на косинус x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x умножить на левая круглая скобка синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на косинус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби косинус x, синус x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка тангенс x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка тангенс x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности . равносильно$ $равносильно левая круглая скобка синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на косинус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби косинус x, синус x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка тангенс x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка тангенс x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений x= минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z , x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z ;$ $минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .$ б) $минус Пи минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $Пи минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505870

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z ;$ $минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .$ б) $минус Пи минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $Пи минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 5

Методы алгебры: Группировка

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505870	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z ;$ $минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .$ б) $минус Пи минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $Пи минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$